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Mr. Euritis

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O Sr. Euritis quer distribuir euros de 2008 entre Alberto, Benito e Carlos da seguinte forma: doar € 1 a Alberto, € 2 a Benito, € 3 a Carlos, depois € 4 a Alberto, € 5 a Benito, € 6 a Carlos e assim por diante, até que você fique sem dinheiro ou não consiga entregar a quantia que tocar.

Quanto dinheiro Benito recebe e quanto dinheiro o Sr. Euritis terá?

Extraído da página problemate.blogspot.com.es.

Solução

Se tentarmos calcular quantas voltas o Sr. Euritis dá, adicionando um a um os euros que ele está dando, provavelmente ficaremos cansados, mas há um truque.

Por exemplo, na quarta rodada, teremos que adicionar 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12, que é uma soma longa. Se agruparmos de uma certa maneira, provavelmente parecerá com outra coisa. Você verá que, se colocarmos 1 + 12 + 2 + 11 + 3 + 10 + 4 + 9 + 5 + 8 + 6 + 7, há uma regularidade interessante: a cada dois addends adicionam o mesmo, ou seja, é 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13, ou o que é o mesmo 13 seis vezes. E é seis vezes porque é metade da soma total. Desde 13 * 6 = 65, ainda estamos longe de 2008, mas temos um método.

E se o número de addends for ímpar? Bem, também sai. Imagine que somamos a quinta rodada, temos que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 1 + 15 + 2 + 14 + 3 + 13 + 4 + 12 + 5 + 11 + 6 + 10 + 7 + 9 + 8 = 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 8 = 16 * 7,5 = 120. Observe que, embora correspondamos a todos os Além disso, um fica sem parceiro, pois é estranho, mas vale exatamente a metade da soma de dois, por isso é como se você tivesse a metade exata dos adendos do que antes.

Se assumirmos que ele fez n voltas adicionando euros, teremos distribuído 1 + 2 + 3 + ... + 3n = (3n + 1) * 3n / 2, ou seja, a soma do último mais o primeiro do total de combinações de adendos por 2.

E esse número queremos abordar 2008, ou seja, (3n + 1) * 3n / 2 = 2008 (aproximadamente). Se a resolvermos como se fosse uma equação, multiplicamos por 2 e ela permanece (3n + 1) * 3n = 4016, onde 9n2 + 3n = 4016, e temos a equação de segundo grau 9n2 + 3n - 4016 = 0. Claro , que não estamos procurando a solução exata, senão a que mais se aproxima de 2008 produz o resultado sem passar por cima. A solução negativa não nos interessa, portanto, teríamos que n, aproximadamente, (-3 + √ (9 + 4 * 9 * 4016)) / (2 * 9). A expressão dentro da raiz é 144585, cuja raiz, arredondada, é 380. Se subtrairmos três, é 377, que, ao dividir por 18, não dá a exata, arredondamos para 20.

Para n = 20, a soma dá 1830, enquanto que para 21 dá 2016.

Em seguida, na série de entrega de dinheiro, ele parará no número 20 e será deixado em 2008-1830 = 178 €.

Quanto você deu a Benito? Para calcular isso, devemos adicionar 2 + 5 + 8 +… + 56 + 59, que será a soma que colocamos na posição 20. Novamente, observamos que 2 + 59 = 5 + 56 = 61, se escolhermos os 20 adendos de maneira conveniente, teremos 10 vezes 61, o que significa um total de Benito de € 610.


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